正方行列A✖️ベクトルx ＝ λ（スカラ）✖️ベクトルx
を満たすλとベクトルxを固有値、固有ベクトルと呼ぶ
ただし条件は
各値のサイズ感は以下の通り
行列A を A
ベクトルx をx
ゼロベクトル＝0v
として式にしていく
(A-λI)x = 0v (Iはλを行列にするための単位行列）
これに左から(A-λI)の➖１乗をかける
＞これは（A-λI)を消したいというモチベーション
(A-λI)-1乗✖️（A-λI)x = (A-λI)➖１乗✖️0v
＞x = 0v
あ、xベクトルは０ベクトルかー！となるのですが！
条件に
がありました。だからこの回答は矛盾します！
ではどう解くのか？
行列A = [8 1¥4 5] の時を考えて見ましょう
これを以下のように表します。
すると以下のように表せますね。
Ax - λx = 0v
さらにうえの式を行列の計算できるよう単位行列Iを使って
とすると、行列A = [8 1¥4 5] の時
A-λI = [8 1¥4 5] - [λ 0 ¥ 0 λ]
=[8-λ 1 ¥ 4 5-λ] = 0v
これを行列式の襷掛け[a b ¥ c d] ad - bc をすると
=(8-λ)(5-λ）-1✖️4 = 0
=40 - 13λ + λ*2(λ二乗）
=λ*2-13λ＋36
＞λ ＝ 4 ,9
固有値λが出ました！
この値を使って、固有ベクトルxを求めます！
固有値λが４、９と求めたれたので
λ＝4の時
A-λI = [8 1¥4 5] - [λ 0 ¥ 0 λ] にλ＝4を代入します
([8 1 ¥ 4 5] - [4 0¥ 0 4])✖️x = [0 0]
行列の引き算をして、
[4 1¥ 4 1][x1 x2] = [0 0]
4x1 + x2 = 0
>4x1 = -x2
x=1の時、x2 = -4
x = [1 -4]
λ=9の時
([8 1 ¥ 4 5] - [9 0¥ 0 9])✖️[x1 x2] = [0 0]
[-1 1¥ 4 -4] ✖️ [x1 x2] = [0 0]
-x1 + x2 = 0
x1 = 1の時x2 = 1
x = [1 1 ]
これで固有値ベクトルxは[1 -4] , [1 1 ]
と求めることができました！